Matematyka, matura 2015 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Równanie 2sinx + 3cosx = 6 w przedziale (0,2π)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x⁴ − x² − 2x + 3 > 0.

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Funkcja ƒ określona jest wzorem ƒ(x) = x³ − 2x² + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji ƒ, które są równoległe do prostej o równaniu y = 4x.

Dany jest trójmian kwadratowy ƒ(x) = (m + 1)x² + 2(m − 2)x − m + 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian ƒ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek x₁² − x₂² = x₁⁴ − x₂⁴.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x) = x³ + ax² + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.