Matematyka, matura 2016 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Wielomian W(x) = 6x³ + 3x² − 5x + p jest podzielny przez dwumian x − 1 dla p równego

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = ƒ(x) , której dziedziną jest zbiór D = (−∞, 3)∪(3, +∞).

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.



Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x² + y² = 2, prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2.

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji ƒ i g, określonych wzorami ƒ(x) = x − 2 oraz g(x) = 5 − ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Dany jest trójmian kwadratowy ƒ(x) = x² + 2(m + 1)x + 6m + 1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁ − x₂| < 3.

Punkty A = (30, 32) i B = (0, 8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x − y + 2 = 0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.