Matematyka, matura 2017 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym |AD| = |CD| = ½ |BC| (zobacz rysunek).
Okrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB. Okrąg ten przecina boki AC i BC trójkąta odpowiednio w punktach K i L.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz |∢ABC| = β. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E.

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu.

Rozwiąż równanie cos2x + 3cosx = −2 w przedziale ⟨0,2π⟩.

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (−5,3) i B = (0,6), którego środek leży na prostej o równaniu x − 3y + 1 = 0.

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a − 2, b, 2c + 1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.