Matematyka, matura 2018 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Styczna do paraboli o równaniu y =√3x² − 1 w punkcie P = (x₀, y₀) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30°. Oblicz współrzędne punktu P.

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek).

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k³m − km³ jest podzielna przez 6.

Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiąż równanie sin6x + cos3x = 2sin3x + 1 w przedziale ⟨0,π⟩.

Wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n ≥ 1, spełniają układ równań

Punkt A = (7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x² + y² = 10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.