Matematyka, matura 2020 - poziom podstawowy - pytania i odpowiedzi

Lista zadań

Odpowiedzi do tej matury możesz sprawdzić również rozwiązując test w dostępnej już aplikacji Matura - testy i zadania, w której jest także, np. odmierzanie czasu, dodawanie do powtórek, zapamiętywanie postępu i wyników czy notatnik :)

Dziękujemy developerom z firmy Geeknauts, którzy stworzyli tę aplikację

pwz: 74%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 1. (0–1)

Wartość wyrażenia x² − 6x + 9 dla x = √3 + 3 jest równa

A) 1

B) 3

C) 1 + 2√3

D) 1 – 2√3

pwz: 61%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 2. (0–1)

Liczba  jest równa

A) 6⁷⁰

B) 6⁴⁵

C) 2³⁰ · 3²⁰

D) 2¹⁰ · 3²⁰

pwz: 76%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 3. (0–1)

Liczba log₅√125 jest równa

A) ²⁄₃

B) 2

C) 3

D) ³⁄₂

pwz: 79%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 4. (0–1)

Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową cenę y należy podnieść o

A) 25%

B) 20%

C) 15%

D) 12%

pwz: 65%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 5. (0–1)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(1 − x) > 2(3x − 1) − 12x jest przedział

A) (– ⁵⁄₃, + ∞)

B) ( – ∞, ⁵⁄₃)

C) (⁵⁄₃, + ∞)

D) ( – ∞, – ⁵⁄₃)

pwz: 64%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 6. (0–1)

Suma wszystkich rozwiązań równania x(x − 3)(x + 2) = 0 jest równa

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

Informacja do zadań 7.–9.

Funkcja kwadratowa ƒ jest określona wzorem ƒ(x) = a(x − 1)(x − 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, 1).

pwz: 65%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 7. (0–1)

Współczynnik a we wzorze funkcji ƒ jest równy

A) 1

B) 2

C) − 2

D) − 1

Informacja do zadań 7.–9.

Funkcja kwadratowa ƒ jest określona wzorem ƒ(x) = a(x − 1)(x − 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, 1).

pwz: 79%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 8. (0–1)

Największa wartość funkcji ƒ w przedziale ⟨1,4⟩ jest równa

A) − 3

B) 0

C) 1

D) 2

Informacja do zadań 7.–9.

Funkcja kwadratowa ƒ jest określona wzorem ƒ(x) = a(x − 1)(x − 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, 1).

pwz: 77%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 9. (0–1)

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji ƒ jest prosta o równaniu

A) x = 1

B) x = 2

C) y = 1

D) y = 2

pwz: 77%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 10. (0–1)

Równanie x(x − 2) = (x − 2)² w zbiorze liczb rzeczywistych

A) nie ma rozwiązań

B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2

C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0

D) ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2

pwz: 61%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 11. (0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej ƒ określonej wzorem ƒ(x) = ax + b.

Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji ƒ spełniają zależność

A) a + b > 0

B) a + b = 0

C) a ⋅ b > 0

D) a ⋅ b < 0

pwz: 68%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 12. (0–1)

Funkcja ƒ jest określona wzorem ƒ(x) = 4^–x + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba ƒ(½) jest równa

A) ½

B) ³⁄₂

C) 3

D) 17

pwz: 78%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 13. (0–1)

Proste o równaniach y = (m − 2)x oraz y = ³⁄₄ x + 7 są równoległe. Wtedy

A) m = − ⁵⁄₄

B) m = ²⁄₃

C) m = ¹¹⁄₄

D) m = ¹⁰⁄₃

pwz: 80%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 14. (0–1)

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n² dla n ≥ 1. Różnica a₅ − a₄ jest równa

A) 4

B) 20

C) 36

D) 18

pwz: 88%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 15. (0–1)

W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n ≥ 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a₁ + a₂ + a₃ + a₄ jest równa

A) − 42

B) − 36

C) − 18

D) 6

pwz: 69%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 16. (0–1)

Punkt A = (¹⁄₃, − 1) należy do wykresu funkcji liniowej ƒ określonej wzorem ƒ(x) = 3x + b. Wynika stąd, że

A) b = 2

B) b = 1

C) b = − 1

D) b = − 2

pwz: 80%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 17. (0–1)

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Miara kąta ABC jest równa

A) 59°

B) 48°

C) 62°

D) 31°

pwz: 75%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 18. (0–1)

Prosta przechodząca przez punkty A = (3, −2) i B = (−1, 6) jest określona równaniem

A) y = − 2x + 4

B) y = − 2x − 8

C) y = 2x + 8

D) y = 2x − 4

pwz: 68%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 19. (0–1)

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β (zobacz rysunek).

Wyrażenie 2cos α − sin β jest równe

A) 2sin β

B) cos α

C) 0

D) 2

pwz: 64%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 20. (0–1)

Punkt B jest obrazem punktu A = (− 3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa

A) 2√34

B) 8

C) √34

D) 12

pwz: 84%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 21. (0–1)

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

pwz: 58%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 22. (0–1)

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że  (zobacz rysunek).

Pole czworokąta APCR jest równe

A) 36

B) 40

C) 54

D) 60

pwz: 68%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 23. (0–1)

Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem

A) a = 7

B) a = 6

C) a = 5

D) a = 4

pwz: 65%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 24. (0–1)

Przekątna sześcianu ma długość 4√3. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A) 96

B) 24√3

C) 192

D) 16√3

pwz: 69%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 25. (0–1)

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³.

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

A) 20 cm³

B) 30 cm³

C) 39 cm³

D) 52,5 cm³

pwz: 57%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 26. (0–2)

Rozwiąż nierówność 2(x − 1)(x + 3) > x − 1.

pwz: 62%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 27. (0–2)

Rozwiąż równanie (x² − 1)(x² − 2x) = 0.

pwz: 20%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 28. (0–2)

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
a(a − 2b) + 2b² > 0.

pwz: 16%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 29. (0–2)

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = ³⁄₄ |CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CF| = ⁹⁄₁₆ |CB|.

pwz: 53%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 30. (0–2)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

pwz: 39%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 31. (0–2)

Kąt α jest ostry i spełnia warunek  

Oblicz tangens kąta α.

pwz: 22%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 32. (0–4)

Dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (5, − ⁵⁄₃). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = ⁴⁄₃ x. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

pwz: 32%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 33. (0–4)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a₁ − 5a₂ + a₃ = 0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨2√2,3√2⟩.

pwz: 21%

Poziom wykonania zadania - im wyższy, tym zadanie było łatwiejsze dla zdających.

Zadanie 34. (0–5)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.