Matematyka, matura 2020 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Wielomian W określony wzorem W(x) = x²⁰¹⁹ − 3x²⁰⁰⁰ + 2x + 6

Ciąg (a_n) jest określony wzorem

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (x√2 + y√3)⁴ do postaci ax⁴ + bx³y + cx²y² + dxy³ + ey⁴ współczynnik c jest równy

W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi ⁴⁄₅ długości boku AB . Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.
Poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x − 5| = (a − 1)² − 4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| = 6, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC| = |LC| = 2 (zobacz rysunek).

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a² + 2a = 4b² + 4b. Wykaż, że a = 2b.

Rozwiąż równanie 3cos2x + 10cos²x = 24sinx − 3 dla x ∈ ⟨0, 2π⟩.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁,a₂,a₃) spełniona jest równość a₁ + a₂ + a₃ = ²¹⁄₄. Wyrazy a₁,a₂,a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Dane jest równanie kwadratowe x² − (3m + 2)x + 2m² + 7m − 15 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x₁ i x₂ tego równania istnieją i spełniają warunek

Prosta o równaniu x + y − 10 = 0 przecina okrąg o równaniu x² + y² − 8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB ∥ CD). Ramiona tego trapezu mają długości |AD| = 10 i |BC| = 16 , a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że tg α = ⁹⁄₂. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.