Matematyka, matura 2020 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Lista zadań

Odpowiedzi do tej matury możesz sprawdzić również rozwiązując test w dostępnej już aplikacji Matura - testy i zadania, w której jest także, np. odmierzanie czasu, dodawanie do powtórek, zapamiętywanie postępu i wyników czy notatnik :)

Dziękujemy developerom z firmy Geeknauts, którzy stworzyli tę aplikację

Zadanie 1. (0–1)

Niech . Wtedy

A) L = 1

B) L = 2

C) L = 3

D) L = 4

Zadanie 3. (0–1)

Liczba  jest równa

A) 1

B) –1

C) 3 – 2√2

D) 2√2 + 1

Zadanie 4. (0–1)

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

A)

B)

C)

D)

Zadanie 5. (0–2)

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji  , określonej dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1, poprowadzonej w punkcie  tego wykresu. Poniżej wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

 

Zadanie 6. (0–3)

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC|² – |AC|² = |AB| ⋅ |AC|.

Zadanie 7. (0–3)

Udowodnij, że dla dowolnego kątaprawdziwa jest nierówność

Zadanie 8. (0–3)

Wykaż, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x – 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1.

Zadanie 9. (0–4)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru {0, 1, 3, 5, 7, 9}, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Zadanie 10. (0–4)

Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a, aq, aq²), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

Zadanie 11. (0–4)

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) równaniach x² + y² = 2^11–n, n ≥ 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_2k–1 i wewnętrznym okręgiem o_2k. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P_k, gdzie k ≥ 1.

Zadanie 12. (0–5)

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 13. (0–5)

Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach – odpowiednio – P = (0,10), Q = (8,6), R = (9,13). Oblicz współrzędne wierzchołków A, B i C tego trójkąta.

Zadanie 14. (0–6)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania x₁, x₂ spełniające warunki: 

x₁ ⋅ x₂  ≠ 0 oraz 

Zadanie 15. (0–7)

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji V.
c) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.