Matematyka, matura próbna 2015 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Lista zadań

Odpowiedzi do tej matury możesz sprawdzić również rozwiązując test w dostępnej już aplikacji Matura - testy i zadania, w której jest także, np. odmierzanie czasu, dodawanie do powtórek, zapamiętywanie postępu i wyników czy notatnik :)

Dziękujemy developerom z firmy Geeknauts, którzy stworzyli tę aplikację

Zadanie 4. (0–1)

Każda liczba x należąca do przedziału otwartego  spełnia nierówność

A) tg x > sin x

B) cos x > sin x

C) cos x > tg x

D) tg x > cos x

Zadanie 6. (0–2)

Dane są liczby a, b takie, że a – b = 4 i ab = 7. Oblicz a³b + ab³. Poniżej wpisz kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0–2)

Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Zadanie 8. (0–2)

Oblicz granicę

Zadanie 9. (0–2)

Funkcja ƒ jest określona wzoremdla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 4. Oblicz pochodną funkcji ƒ w punkcie x = 12.

Zadanie 10. (0–3)

Funkcja ƒ jest określona wzorem ƒ(x) = x⁴ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji ƒ, która jest równoległa do prostej y = 4x + 7.

Zadanie 11. (0–3)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5x – sinx = 0.

Zadanie 12. (0–3)

Niech P_n oznacza pole koła o promieniu  , dla n ≥ 1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (P_n).

Zadanie 13. (0–3)

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1, to 

Zadanie 14. (0–4)

Wykaż, że jeżeli α, β, γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin²α + sin²β < sin²γ, to cosγ < 0.

Zadanie 15. (0–3)

Punkt E jest środkiem boku BC prostokąta ABCD, w którym AB > BC. Punkt F leży na boku CD tego prostokąta oraz ∢AEF = 90°. Udowodnij, że ∢BAE = ∢EAF.

Zadanie 16. (0–5)

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Zadanie 17. (0–6)

Dany jest okrąg o₀ o równaniu (x – 3)² + (y – 1)² = 1. W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o₁, o₂ styczne zewnętrznie do okręgu o₀ i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o₁ oraz o₂.

Zadanie 18. (0–7)

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.