Matematyka, matura 2021 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Różnica cos² 165° − sin² 165° jest równa

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji ƒ określonej dla każdej liczby rzeczywistej x.

Wielomian W(x) = x⁴ + 81 jest podzielny przez

Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x − 4| = 0 jest równa

Rozwiąż nierówność:

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Prosta przechodząca przez punkty A = (8,−6) i B = (5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (0,0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Dane są parabola o równaniu y = x² oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.
a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.
b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m³. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m² dna
– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.