Matematyka, matura 2023 próbna grudzień - poziom podstawowy - pytania i odpowiedzi

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane 7% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po 𝑥 zł za parę i 40 identycznych marynarek po 𝑦 zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Liczby rzeczywiste 𝑥 i 𝑦 są dodatnie oraz 𝑥≠𝑦.

Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = − log 𝑥 dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich 𝑥.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, ma współrzędne (5,−3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych ma współrzędne (4,0).

Dana jest nierówność kwadratowa
(3𝑥 − 9)(𝑥 + 𝑘) < 0
z niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑘 ∈ ℝ. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (−2, 3).

Dana jest funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏 i 𝑐 są liczbami rzeczywistymi takimi, że 𝑎 ≠ 0 oraz 𝑐 < 0. Funkcja 𝑓 nie ma miejsc zerowych.

Dany jest układ równań

Dany jest wielomian 𝑊 określony wzorem 𝑊(𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥² − 3𝑥 + 6 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.

Dana jest nierówność

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟓𝒏^𝟐 + 𝟏𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟎.

Dany jest ciąg (𝑎_𝑛) określony wzorem 𝑎_𝑛 = 2𝑛² + 𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.

Dany jest ciąg geometryczny (𝑎_𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. W tym ciągu 𝑎₁ = −5, 𝑎₂ = 15, 𝑎₃ = −45.

Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑂 (zobacz rysunek). Ponadto |∡𝐴𝑂𝐶| = 130° oraz |∡𝐵𝑂𝐴| = 110°.

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 8. Z wierzchołka 𝐴 zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂. Ponadto |𝐴𝐷| = 4 i |𝑂𝐷| = |𝐵𝐶| = 6. Kąty 𝑂𝐷𝐴 i 𝐵𝐶𝑂 są proste (zobacz rysunek).

Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐶| = 16 oraz |𝐵𝐷| = 12. Wierzchołki 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 leżą na bokach równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴𝐵||𝐶𝐷 oraz przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂 (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa 12. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑂 jest równy 39, a obwód trójkąta 𝐶𝐷𝑂 jest równy 13.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dany jest okrąg 𝒪 o równaniu
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 3)² = 13

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dane są punkty 𝐴 = (1,2) i 𝐵 = (2𝑚,𝑚), gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = −𝑥 −1.

Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu połączono odcinkami z punktem 𝑊, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊 (zobacz rysunek).

Dany jest sześcian ℱ o krawędzi długości 𝑎 i objętości 𝑉 oraz sześcian 𝒢 o krawędzi długości 3𝑎.

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2∶7. Zakupiono jeden los z tej loterii.

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
• w I donicy – 133 nasiona
• w II donicy – 140 nasion
• w III donicy – 119 nasion
• w IV donicy – 147 nasion
• w V donicy – 161 nasion.
Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe 𝜎 = 14.