Matematyka, matura 2023 próbna - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Funkcja 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = |−¹⁄₄ 𝑥² + 3𝑥 − 5| dla każdego 𝑥 ∈ ℝ. Fragment wykresu funkcji 𝑔 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚, spełniających warunek 𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟏, prawdziwa jest nierówność

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0,1. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 20 torebek.

W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 i 𝐴𝐵 tego trójkąta w punktach – odpowiednio – 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀. Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach 𝐶𝐿𝑃𝐾 oraz 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg.

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480 + 𝑥) litrów dziennie przeciętny koszt 𝐾 (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

Rozwiąż nierówność

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x² − (m-4)x + m² − 7m + 12 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂ , spełniające warunek
x₁³ + x₂³ < 5x₁² ⋅ x₂ + 5x₁ ⋅ x₂²

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 𝑎. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 𝛼 takim, że cos𝛼 = ^√10⁄₁₀. Przez krawędź 𝐵𝐶 podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę 𝜋 prostopadłą do ściany bocznej 𝑆𝐴𝐷.

Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷| oraz ramię 𝐵𝐶 ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu 𝑅 = 5. Miary kątów 𝐵𝐴𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 tego trapezu spełniają warunek

Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦 = ¹⁄₄𝑥² − ³⁄₂𝑥 + ¹⁄₄ w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu 𝐵 jest liczbą ujemną. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i styczna do danej paraboli w punkcie 𝐶.