Matematyka, matura 2023 przykładowa - poziom podstawowy - pytania i odpowiedzi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dany jest wielomian

gdzie 𝑘 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (−2) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba n² + 2023 jest podzielna przez 8.

Dana jest funkcja kwadratowa 𝑓, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dana jest funkcja liniowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji 𝑓 przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku obok.

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny 𝑃 swojego produktu na liczbę 𝑄 kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o 1 jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o 3 jednostki. Ponadto przy cenie równej 5 jednostek liczba kupujących jest równa 12 jednostek.

Czas 𝑇 półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.
Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa 𝑚 leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

Klient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 3% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dany jest ciąg (𝑎_𝑛) określony wzorem 𝑎_𝑛 = −3𝑛 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 10.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dany jest okrąg o środku 𝑆 = (2,−5 ) i promieniu 𝑟 = 3.

Odcinki 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 przecinają się w punkcie 𝑂. W trójkątach 𝐴𝐵𝑂 i 𝑂𝐷𝐶 zachodzą związki: |𝐴𝑂| = 5, |𝐵𝑂| = 3, |𝑂𝐶| = 10, |∡𝑂𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐶𝐷| (zobacz rysunek).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = −3𝑥 + 1.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wierzchołki 𝐴 = (−2,1) i 𝐶 = (4,5) są końcami przekątnej tego kwadratu.

Odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku w punkcie 𝑂 i promieniu 𝑟 = 8 (zobacz rysunek). Cięciwa 𝐴𝐶 ma długość 8√3.

Kąt 𝛼 jest ostry oraz 4tg𝛼 = 3sin²𝛼 + 3cos²𝛼.

Dane są dwa trójkąty podobne 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 o polach równych – odpowiednio – 𝑃 oraz 2𝑃. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 𝑥.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Punkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑂. Proste 𝑘 i 𝑙 są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – 𝐴 i 𝐵. Te proste przecinają się w punkcie 𝑆 i tworzą kąt o mierze 76° (zobacz rysunek).

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym bok 𝐵𝐶 odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna 𝐴𝐶 tego prostokąta ma długość 16 i tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶. Punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych 𝐴𝑆, 𝐵𝑆 i 𝐶𝑆 (zobacz rysunek).

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 (zobacz rysunek obok).

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1000 do 9999. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej 3, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°.

W pewnej grupie 100 uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.