Matematyka, matura 2023 przykładowa - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Dane są liczby 𝑎 = log₂3 oraz 𝑏 = log₃7.

Wyraź log₄49 za pomocą liczb a oraz b.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎_𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎_𝑛) jest równa 7, a suma 𝑆 wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Dane jest równanie

z niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚 ∈ ℝ.

Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 𝟒 jest liczbą podzielną przez 𝟑𝟔.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) za pomocą fragmentów wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie sin(3x) = 2sinx w zbiorze [0,𝜋].

Dany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o obwodzie 𝑙 i podstawach 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 takich, że |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna 𝐴𝐶 trapezu ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) punkt 𝐴 = (9 , 12) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = ¹⁄₂𝑥 zawiera dwusieczną kąta 𝐴𝐵𝐶 tego trójkąta. Okrąg O o równaniu (𝑥 − 8)² + (𝑦 − 4)² = 16 jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem O.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka 𝑆 ma miarę 2𝛼.

Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.