Matematyka, matura 2024 maj - poziom podstawowy - pytania i odpowiedzi

Dana jest nierówność

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba 𝒏^𝟐 + (𝒏 + 𝟏)^𝟐 + (𝒏 + 𝟐)^𝟐 przy dzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.

Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥³ + 6𝑥² + 9𝑥.

Rozwiąż równanie

Zapisz obliczenia.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, gdzie 𝑘 ∈ ℝ.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Ciąg (𝑎_𝑛) jest określony wzorem 𝑎_𝑛 = (−1)^𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg (12, 6 ,2𝑚 − 1) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz poprawne odpowiedzi.

Ciąg arytmetyczny (𝑎_𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (−165).

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼 = −3 oraz 90°< 𝛼 <180° (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀|=𝑎, |𝐿𝑀|=𝑏 oraz 𝑎≠𝑏. Dwusieczna kąta 𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁|=𝑐, |𝑁𝐿|=𝑑 oraz |𝑀𝑁|=𝑒 (zobacz rysunek).

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie 𝐴𝐵𝐶, wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42° (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami


Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴 = (−2 , 6) oraz
𝐵 = (10 , 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają się w punkcie 𝑃 = (6 , 7).

Oblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.

Ostrosłup 𝐹₁ jest podobny do ostrosłupa 𝐹₂.
Objętość ostrosłupa 𝐹₁ jest równa 64.
Objętość ostrosłupa 𝐹₂ jest równa 512.

Uzupełnij poniższe zdanie. Podaj odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹₂ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹₁ jest równy ………. .

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 9.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾 = {5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.