Matematyka, matura 2024 maj - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

W chwili początkowej (𝑡 = 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20 °C. Temperatura 𝑇 tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

gdzie:
𝑇 – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑡 – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
𝑇_𝑝 – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑇_𝑧 – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑘 – stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65 °C.

Oblicz granicę

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe 0,01. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Funkcja 𝑓 jest określona wzorem

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎_𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.

Oblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛.

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest dwa razy większa od miary kąta 𝐵𝐴𝐶.

Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 𝑎. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐶𝐷. Przekątna 𝐵𝐷 dzieli trójkąt 𝐴𝐶𝐸 na dwie figury: 𝐴𝐺𝐹 oraz 𝐶𝐸𝐹𝐺 (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie

w zbiorze [𝟎,𝟐𝝅].

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) środek 𝑆 okręgu o promieniu √5 leży na prostej o równaniu
𝑦 = 𝑥 + 1. Przez punkt 𝐴 = (1, 2), którego odległość od punktu 𝑆 jest większa od √5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – 𝐵 i 𝐶. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest równe 15.

Oblicz współrzędne punktu 𝑺. Rozważ wszystkie przypadki.

Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙_𝟏 , 𝒙_𝟐 spełniające warunek

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.